Suivez-nous Twitter de l'UVHCPage facebook de l'UPHF

Master Mathématiques : Parcours Modélisation, Optimisation et Sécurité (MOS)

Crédits ECTS : 120
4 semestres

@libelle@libelle@libelle

Domaine : Sciences, Technologies, Santé
Mention : Mathématiques
Spécialité : MODÉLISATION, OPTIMISATION, SÉCURITÉ

Liste des principaux enseignements

  • Modélisation et calcul scientifique
  • Conception géométrique assistée par ordinateur
  • Optimisation
  • Cryptographie et sécurité de l’information
  • Programmation
  • Anglais

Semestre
S7
Crédits ECTSVolume horaire
Analyse fonctionnelle appliquée

1 - Intégrale de Lebesgue et théorèmes de convergence : introduction succincte de l'intégrale de Lebesgue (sans preuve), motivation, théorèmes de convergence (sans preuve) : convergence dominée, Fubini, continuité et dérivabilité des intégrales dépendant d'un paramètre, contre-exemples 2 - Espaces de Banach : exemples, espaces de suites, espaces de Lebesgue et de Sobolev (application : notion d'énergie, température), théorème de Banach et applications, dualité, espaces de fonctions continues, théorème d'Arzela-Ascoli. 3 - Espace de Hilbert : orthogonalisation, meilleure approximation, existence de la projection orthogonale, exemples.

    En savoir plus
    4 44 HeuresImprimer
    Base de l'Optimisation Combinatoire

    1. Programmation linéaire en nombres entiers : Formulation, Optimalité, Relaxation et Bornes - Algorithme de séparation évaluation 2. Algorithme de séparation et coupes - Méthodes basées sur la relaxation Lagrangienne - Programmation dynamique

      En savoir plus
      3 30 HeuresImprimer
      Courbes et surfaces dans l'espace

        1 - Étude de courbes dans R2 et R3 : courbes paramétrées, points singuliers et points multiples, géométrie différentielle, paramétrisation par longueur d'arc,  abscisse curviligne, repère de Frenet,  courbure et torsion, théorème d'existence et d'unicité, courbes parallèles (offsets). 2 - Étude de surfaces : généralités sur les surfaces paramétrées, points singuliers,  géométrie différentielle, première forme fondamentale et intégration sur une surface,  seconde forme fondamentale,  courbure de Gauss et courbure moyenne,  isométries et géodésiques,  théorème egregium de Gauss, surfaces réglées et développables, surfaces implicites.

        En savoir plus
        4 42 HeuresImprimer
        Equations différentielles et analyse de Fourier

        1 - Équations différentielles et applications aux systèmes de masses ponctuelles . Outils théoriques : théorème de Cauchy-Lipschitz et du théorème de Peano, Outils numériques : notion de consistance, stabilité, convergence. Exemples : Euler explicite, implicite, point-milieu, Runge-Kutta. 2 - Séries de Fourier : définition, propriétés des séries de Fourier, théorème de Dirichlet, théorème de Parseval, application à l'équation de la chaleur en 1D avec condition de Dirichlet.

          En savoir plus
          4 34 HeuresImprimer
          Modélisation géométrique de courbes et de surfaces

          1 Courbes de Bézier : courbes paramétriques, polynômes de Bernstein, algorithme d'évaluation de De Casteljau, subdivision, élévation du degré, dérivation, propriétés géométriques.

           

          2 Fonctions de base B-spline : définition, multiplicité nodale, raccord de classe Ck, notion de support, dérivation. Courbes B-spline: B-splines paramétriques, polygone de contrôle, algorithme d'évaluation de De Boor, propriétés, insertion de nœuds, continuité paramétrique et géométrique. 

            En savoir plus
            4 34 HeuresImprimer
            Python, Intitiation à C++

            Python : Brefs rappels sur les bases de la programmation (variables, structures conditionnelles, boucles, fonctions, liste, chaine, tuple) Utilisation des différents modules numpy, scipy, random, matplotlib , sympy pour résoudre divers problèmes de mathématiques appliquéesC++ : 1 - Introduction au C++ : historique, le C++ face aux autres langages. 2 - Outils pour la programmation : IDE et fichiers sources, de la compilation à l'édition de liens, makefiles. 3 - Variables, types de base, constantes, opérateurs logiques, expressions. 4 - Structures conditionnelles et structures de contrôle. 5 - Les fonctions (déclaration, transmission par valeur, par adresse, par référence). 6 - Tableaux statiques et dynamiques. 7 - Adresse, mémoire et pointeurs. 8 - Les classes (déclaration, constructeur, destructeur, surcharge d'opérateurs). 9 - Héritage et polymorphisme. 10- Fonctions amies et éléments statiques. 11- Flux de données et fichiers : lire, écrire et se déplacer dans un fichier. 12- Les patrons. 13- La gestion des erreurs.

              En savoir plus
              5 48 HeuresImprimer
              Anglais3 36 HeuresImprimer
              SHS.73 36 HeuresImprimer
              S8
              Crédits ECTSVolume horaire
              Cryptographie et codes correcteurs d'erreurs

              1. Cryptographie : Introduction générale et exemples historiques de cryptosystèmes ; Chiffrement par blocs ; Etude du cryptosystème DES (Data Encryption Standard ; Données d'un cryptosystème standard) ; Etude du cryptosystème AES (Data Encryption Standard ; cryptosystème standard avancé) ; Cryptographie à clé publique (RSA, Chiffrement de Rabin; Échange de clés selon Diffie-Helman; chiffrement El Gamal) 2. Codes correcteurs d'erreurs : Principes généraux des codes correcteurs d'erreurs ; Codes linéaires ; Codes cycliques ; Code de Hamming.

                En savoir plus
                3 32 HeuresImprimer
                Introduction à la programmation 3D

                1- Rappels sur le C++. 2 - Structures de Données pour la modélisation 3D (pixel, voxel, stockage de modèles 3D, …). 3 - Explication du pipeline graphique d’OpenGL. 4 - Notion de pile de transformations, de projections. 5 - Angles d'Euler et quaternions. 6 - Gestion de la lumière et des textures. 7-  Techniques de rendu optimisé sur CPU.

                  En savoir plus
                  4 32 HeuresImprimer
                  Modélisation avancée pour la CAO

                  1 - Courbes Bézier rationnelles, de subdivision. 2 - Surfaces paramétriques par produit tensoriel, propriétés, évaluation, dérivées partielles, dérivées transversales, raccordement Ck. 3 - Triangles de Bézier. 4 - Surfaces implicites.

                    En savoir plus
                    4 44 HeuresImprimer
                    Modélisation et applications

                    1. Quelques Equations aux Dérivées Partielles usuelles2. Méthode des différences finies pour les EDP linéaires usuelles • Principe de la méthode • Consistance, Stabilité, Convergence • Application à Laplace, Chaleur et Transport• Mise en oeuvre numérique sous Python3. Méthode des éléments finis pour les EDP elliptiques et paraboliques • Espaces de Sobolev • Formulations variationnelle continue : Lax-Milgram • Approximation conforme : Lemme de Céa, erreur d’linterpolation. • Application à quelques problèmes elliptiques et paraboliques • Mise en oeuvre numérique sous Freefem++

                      En savoir plus
                      4 34 HeuresImprimer
                      Statistique

                      Objectifs : Mettre en place les principaux éléments du modèle linéaire (essentiellement gaussien), à savoir l’estimation ponctuelle, l’estimation par intervalle de confiance et les tests.Thématiques abordées : Rappels sur la théorie de l’estimation et les tests d’hypothèses paramétriques. Présentation du modèle linéaire, cas particulier gaussien. Exemples: le modèle de régression linéaire simple et le modèle d’analyse de variance. Estimation des paramètres, méthode des moindres carrés, intervalles de confiance. Tests d’hypothèses, Procédures de contrôles de la qualité et de la validité du modèle linéaire.

                        En savoir plus
                        4 44 HeuresImprimer
                        Projet5 Imprimer
                        ANGLAIS3 36 HeuresImprimer
                        SHS 83 36 HeuresImprimer
                        S9
                        Crédits ECTSVolume horaire
                        Analyse des données

                        Objectifs : Généralités sur les tableaux de données et les mesures de dépendance et de ressemblance. Principes des analyses factorielles multidimensionnelles et de la classification automatique. Etude et Interprétation sur des exemples classiques de la littérature et sur des exemples d’application. Thématiques abordées : Analyse en composantes principales. Analyse factorielle sur tableau de distances. Analyse canonique. Analyse factorielle des correspondances. Analyse des correspondances multiples. Classification automatique.

                          En savoir plus
                          4 32 HeuresImprimer
                          Cryptographie avancée

                          Fonctions de hachage ; Signature numérique ; Identification ; Certification ; Partage de secret ; Infrastructure de clés publiques ; Application de la cryptographie à la sécurité des réseaux ; Cryptographie et courbes elliptiques

                          Codage : Codes BCH, code de Reed-Solomon ; Décodage des codes BCH et Reed-Solomon ; Codes de Goppa binaires ; Codes convolutifs ; Turbocodes

                            En savoir plus
                            3 32 HeuresImprimer
                            Contrôle de systèmes à paramètre distribués

                            1- Concepts de base : contrôle versus optimisation 2 - Contrôle/stabilisation de système linéaire fini : observabilité, condition de Kalman, contrôle bang-bang. 3 - Contrôlabilité des EDP : observabilité, méthode d'unicité hilbertienne. 4 - Contrôle optimal en dimension finie : contrôle en temps optimal, extrémal et principe bang-bang. 5- Contrôle optimal des EDP : différentiabilité dans les espaces de Banach, conditions nécessaires d'optimalité, méthodes numériques.

                              En savoir plus
                              4 36 HeuresImprimer
                              Déformation de maillages

                              1 - Discrétisation de modèles continus et structure de données 2 - Triangulation. 3 - Opérateurs sur les maillages. 4 - Déformation spatiale et basée-surface. 5 - Préservation de caractéristiques.

                                En savoir plus
                                5 48 HeuresImprimer
                                Optimisation, conditions optimales et algorithmes

                                Objectifs : Les techniques d'optimisation interviennent dans des domaines variés de l'ingénierie mathématique. Le but de ce module est de présenter des outils théoriques et algorithmiques permettant de résoudre de manière performante les problèmes d'optimisation. Ce module présente les outils et concepts permettant la résolution efficace du problème d'optimisation : choix de la formulation, algorithme de résolution, réglage de la convergence et enfin analyse de la solution obtenue.Contenu : 1 - Introduction à l’optimisation, 2- Optimisation sans contraintes : Conditions d’optimalité, Méthodes de descente, Variations sur Newton, Moindres carrés, Gradients conjugués, Optimisation avec contraintes, Motivation et exemples, Optimisation sur un convexe, Multiplicateurs de Lagrange, Algorithmes des multiplicateurs, Algorithmes de recherche directe, Applications pratiques : Problèmes de transport et d'affectation, etc.

                                  En savoir plus
                                  4 24 HeuresImprimer
                                  Traitement numérique des EDP

                                  1. Méthode des volumes finis pour pour les EDP linéaires usuelles - Principe de la méthode - Consistance, Stabilité, Convergence - Application à Laplace, Chaleur et Transport - Mise en oeuvre numérique sous Python ou Matlab 2. Méthode des volumes finis pour pour une EDP non linéaire - Notion de choc - Relation de Rankine-Hugoniot - Solutions entropiques - Application à l'équation de Burgers - Mise en oeuvre numérique sous Python ou Matlab 3. Méthodes spectrales et de collocation

                                    En savoir plus
                                    4 34 HeuresImprimer
                                    Anglais3 36 HeuresImprimer
                                    SHS93 36 HeuresImprimer
                                    S10
                                    Crédits ECTSVolume horaire
                                    Projet

                                    Projet  en lien avec les thématiques abordées en cours, a pour but de rendre les étudiants autonomes pendant leur cursus avant d'entrer dans le milieu professionnel.

                                      En savoir plus
                                      10 Imprimer
                                      Professionnalisation

                                      Le stage d'une durée de six mois, devra avoir lieu prioritairement en entreprise et pourra, dans certains cas, être réalisé au sein d'un laboratoire de recherche.

                                      En savoir plus
                                      20 Imprimer

                                      Contrôle des connaissances

                                      Épreuves pratiques, écrites ou orales.